[이산수학🔗] 함수 (6장)

포스팅에 참고하는 교재 : 4차 산업혁명 시대의 이산수학 개정판 (생능출판)

6.1 함수의 정의 

1) 함수 (function)

- 함수(function)는 관계(relation)의 특수한 형태로서, 첫 번째 원소가 같지 않은 순서쌍들의 집합이다.
- 함수란 한 집합의 원소들과 다른 집합의 원소들 간의 관계를 나타내는 순서쌍 중에서, 앞에 있는 집합의 모든 원소가 한 번씩만 순서쌍에 포함할 될 경우를 말한다. 
- 함수는 여러 가지 수학적 도구(tool) 중에서 가장 중요한 개념의 하나인데, 수학과 컴퓨터공학 그리고 다양한 공학 분야들에서 폭넓게 활용된다. 
- 함수 개념의 이해와 컴퓨터 언어에서의 응용 능력을 배양함으로써 주어진 문제를 해결하는 데 많은 도움이 된다. 
- 두 집합 X와 Y에서 함수(function) f는 집합 X에서 Y로의 관계의 부분집합으로서, 집합 X에 있는 모든 원소 x가 집합 Y에 있는 원소 중 오직 하나씩만 대응되는 관계이다. 
- 집합 X에서 집합 Y로의 함수 f는 f : X → Y 로 표기한다.
- X를 함수 f의 정의역(domain)이라 하며, Y를 함수 f의 공변역(codomain)이라 한다. 
- 함수 f를 사상(mapping)이라 하면 'f는 X에서 Y로 사상한다.'고 표현한다.
-  f : X → Y를 함수라고 할 때 f(x) = y라 표시하면, y를 함수 f에 의한 x의 상(image) 또는 함수값이라고 한다.
- 함수 f의 정의역은 Dom(f)라 표시하고, 함수 f의 치역(range)은 Ran(f)라고 표시한다.
Dom(f) = {x | (x, y) ∊ f, x ∊ X, y ∊ Y }
Ran(f) = {y | (x, y) ∊ f, x ∊ X, y ∊ Y }
- 두 함수 f와 g가 같은 정의역과 공변역을 가지는 경우, 즉 정의역에 있는 모든 원소 x에 대하여 f(x) = g(x)가 성립하면, 함수 f와 g는 서로 같다(equal)라고 하고 f=g로 표기한다.
 

2) 관계와 함수의 차이점

함수와 개념은 관계와 매우 밀접한 관련이 있으며 기본적으로는 비슷한 개념이다. 그러나 관계에서의 화살표 도표가 함수가 되기 위해서는 집합 Y에 있는 모든 원소 x가 집합 Y에 있는 원소 중 한 개의 관계가 있어야 한다. 따라서 함수는 관계의 특별한 경우로 볼 수 있다. 
 

6.2  함수 그래프

; 두 집합 A, B에 대한 모든 함수  f : A → B는 집합 A에서 집합 B로의 관계로 정의한다.
- 함수 f : A → B에 대한 함수 그래프(function graph) G는 x ∊ A이고, y = f(x)인 순서쌍 (x, y)의 집합을 나타낸다. 
- G = {(x, y) | x ∊ A, y ∊ B, y = f(x) }
- 함수 f에 대한 그래프 G의 원소들을 좌표 평면상에 점으로 표시하는 것을 함수 f의 그래프에서 순서쌍들은 집합 A의 모든 - 원소 x에 대하여 오직 하나씩만의 관계를 가진다. 
 

6.3 단사 함수, 전사 함수, 전단사 함수

1) 단사 함수 (injective function)

- 함수  f : A → B에서 a_i, a_j ∊ A에 대하여, f(a_i) = f(a_j)이면 a_i = a_j일 경우, 함수를 f를 단사함수라고 한다. 

- ∀a_i, a_j ∊ A, f(a_i) = f(a_j) ⇒ a_i = a_j

- 정의역 A의 모든 원소들이 공변역 B의 서로 다른 원소와 대응되기 때문에 단사함수를 일대일 함수(one-to-one function)라고 한다. 

 - a_i, a_j ∊ A에 대하여 a_i ≠ a_j이면 f(a_i) ≠ f(a_j)가 성립한다. 

- 단사함수에서 함수의 치역은 공변역의 부분 집합이 된다. 
- f : A → B에서 Ran(f) ⊆ B
- B의 모든 원소가 A의 원소와 반드시 대응하는 것은 아니므로 A의 원소와 B의 원소의 개수를 비교하면 |A| <= |B|이 성립된다. (B의 원소의 개수는 A의 원소의 개수보다 크거나 같아야 한다.)
 

2) 전사 함수 (surjective function)

- 함수  f : A → B에서 B의 모든 원소 b에 대하여 f(a) = b가 성립되는 a∊ A가 적어도 하나 존재할 때 함수를 전사 함수라고 한다. 
- ∀b∊B, ∃a∊A, f(a) = b
- 전사 함수의 정의에서 알 수 있는 것은 공변역 B의 모든 원소가 정의역에 대응되어야 하므로 그 자체가 바로 치역이 된다는 것이다.
- Ran(f) = B이다.
- 전사 함수는  모든 함수의 관계가 B의 모든 원소에 반영되므로 반영 함수(onto function)라고도 한다. 
- B의 모든 원소가 A의 원소와 대응되어야 하므로 A의 원소와 B의 원소의 개수를 비교하면 |A| >= |B|이 성립된다. (A의 원소의 개수는 B의 원소의 개수보다 크거나 같아야 한다.)
 

3) 전단사 함수(bijective function)

- 함수  f : A → B에서 f가 단사 함수인 동시에 전사 함수일 때, 함수 f를 전단사함수라고 한다. 
- 전단사 함수는 집합 A의 모든 원소들이 집합 B의 모든 우너소와 하나씩 대응되기 때문에 일대일 대응 함수(one-to-one correspondence function)라고 한다.
- 단사, 전사, 전단사 함수를 쉽게 알기 위해서는 각 원소들의 관계를 화살표로 표시하는 화살표 도표(arrow diagram)을 활용한다. 
- A의 모든 원소가 B의 모든 원소와 하나씩 일대일 대응되므로 |A| = |B|이다. (A의 원소의 개수는 B의 원소의 개수와 같다.)
 

6.4 여러 가지 함수들

1) 합성함수 (compostiton fucntion)

- 두 함수 f : A → B, g : B → C에 대하여 두 함수 f와 g의 합성함수는 집합 A에서 집합 C로의 함수 g∘f :A→C를 의미한다.
- g∘f = {(a,c) | a ∊ A, b ∊ B, c∊C, f(a) = b, f(b) = c}
- ∀a∊A, (g∘f)(a) = g(f(a))
- 결합 법칙(associative law)이 성립한다.
(세 함수 f, g, h를 각각 f : A → B, g : B → C, h : C → D라 할 때, h∘(g∘f) = (h∘g)∘f 성립
 

2) 항등함수  (identity function)

- 집합 A에 대한 함수 f가 f:A→A, f(a)=a일 때 함수 f를 항등함수라고 하고 I_A로 표기한다. 

- ∀a∊A, I_A(a)=a

- 전단사함수이다.
 

3) 역함수(inverse function)

- 함수 f : A → B가 전단사 함수일 때 f의 역함수는 f^-1 : B→A로 표기한다.

- ∀a∊A, ∀b∊B, f(a)=b ⇒f^-1(b) = a

 
4) 상수함수 (constant function)

- 함수 f : A → B에서 집합 A의 모든 원소가 집합 B의 오직 한 원소와 대응할 때 함수 f를 상수함수라고 한다. 
- ∀a∊A, ∃b∊B, f(a)=b
 

5) 특성 함수(charecteristic function)

- 전체 집합 U의 부분 집합 A의 특성 함수 f_A:U→{0,1}는 다음과 같이 정의된다. 

6) 올림 함수(ceiling function)

- x ∊ R에 대한 올림함수는 x보다 크거나 같은 정수값 중 가장 작은 값을 나타낸다. 

7) 내림 함수(floor function)

- x ∊ R에 대한 내림함수는 x보다 작거나 같은 정수값 중 가장 큰 값을 나타낸다. 

 

6.5 컴퓨터 언어에서의 함수의 역할

1) 개요

- 컴퓨터 프로그램을 작성하는 데 있어서, 일반적으로 복잡한 문제를 여러 개의 독립적 기능을 갖는 서브프로그램(subprogram)으로 나누어서 해결함.
- 서브프로그램들은 각기 논리적으로 독립된 계산을 할 때나, 동일한 수행을 여러 번 반복해야 할 때 많이 사용
- 서브프로그램 중 함수에 속하는 서브프로그램은 정의역에 있는 매개 변수의 값을 받아서 계산을 한 뒤 하나의 값을 되돌려 줌
- 함수 호출(function call) : 매개변수(parameter)를 가지고 함수를 부르는 것
- 리턴 (return) : 함수에서 계산된 값을 되돌려 주는 것
- 컴퓨터 언어에서의 함수들도 일반적인 함수의 기능과 같은 역할을 프로그램 내에서 수행한다.
- 컴퓨터 프로그램을 작성할 때 알맞은 함수를 사용하면 좀 더 명확하고 간단하게 문제를 해결할 수 있다. 
 

2) 컴퓨터 언어에서의 두 가지 함수

- 컴퓨터 언어 자체에서 미리 만들어놓은 함수
: 라이브러리(library)라는 곳에 저장되어 있으며, 자주 사용하는 위해 미리 만들어 놓은 함수
- 프로그래머(programmer)가 자기 상황에 편리하도록 직접 만든 함수
 

6.6 함수의 응용과 4차 산업혁명과의 관계

1) 일상생활과 공학에 널리 활용

- 함수는 우리의 일상생활 속에서도 다양하게 활용되고 있다.
- 과학과 공학 분야에서 함수가 활용된다. 
 

2) 영상 퍼리와 패턴 인식 등에서 함수의 응용

- 영상 처리(image processing) : 유용한 정보를 도출하기 위해 영상 자료를 처리하는 과정
- 패턴 인식(pattern recognition) 분야에서 함수의 역할이 매우 크다. 
 

3) 함수와 4차 산업혁명과의 관계 : 드론

- 정교하게 하늘을 날아다니는 조종을 위해 적절한 함수를 적용하는 것이 필수적이다.