[이산수학🔗] 행렬과 행렬식 (10장)

포스팅에 참고하는 교재 : 4차 산업혁명 시대의 이산수학 개정판 (생능출판)

 

10.0 개요

• 선형방정식의 풀이는 여러 가지 공학적인 문제들의 해결에 매우 중요하다.
• 현실 세계에서 만나는 문제에 있어서는 방정식의 수가 매우 많아서 전통적인 방법으로는 쉽게 풀 수 없는 경우가 많다.
• 행렬은 선형방정식을 간단하게 표현할 수 있으며, 보다 쉽게 연산을 할 수 있도록 해준다.
• 행렬식은 행렬을 통한 응용에 있어서 매우 유용한 도구를 제공한다.

 

10.1 행렬과 행렬의 연산

1)  행렬 (Matrix)

- 행렬은 수 또는 문자를 배열의 형태로 나타내는 것이다.
- 어원은 라틴어 Mater(어머니) + -ix의 합성어로서 모체를 의미한다.
- m,n을 양의 정수라고 할 때 실수들로 이루어지는 다음과 같은 배열을 행렬이라고 한다. 

- 행렬을 간단하게 A = [a_ij], i = 1,..., m, j=1,...,n이라 적고, m×n 행렬 또는 (m,n) 행렬이라고 부른다.

- 행렬은 m개의 행(row), n개의 열(column)을 가지고 있다.

- a_ij를 행렬의 ij-항(ij-entry) 또는 ij-성분(ij-component)이라고 부르는데, 위로부터 i번째 항과 j번째의 열이 만나는 항의 값이다.

- 행렬의 각 행은 가로의 n순서쌍으로 볼 수 있고, 각 열은 세로의 m 순서쌍으로 볼 수 있다.

• 행벡터 (row vector) : 가로의 n순서쌍
• 열벡터 (column vector) : 세로의 m 순서쌍  

- 정방행렬 (square matrix)

• 행렬 A = [a_ij], i=1,...,m, j=1,...,n에 대해, 만일 m=n인 경우
• 즉 행의 개수와 열의 개수가 같은 경우인 A_n×n일 때
• n개의 행과 n개의 열을 가지는 행렬을 n차 정방행렬(square matrix of order of n)이라 한다.
• a₁₁, a₂₂, ... a_nn은 A의 주대각선(main diagonal) 상에 있다.

2) 행렬의 합과 스칼라 곱

(1) 행렬의 합

- 행렬의 합은 그들이 같은 크기의 행렬일 때에 한해 정의한다.

- m, n을 양의 정수라고 하고 A=[a_ij]와 B=[b_ij]가 모두 m×n 행렬이라고 할 때, 행렬의 합 A+B는 ij-성분이 a_ij + b_ij인 행렬로 정의한다.

- 행렬의 합이란 같은 크기의 행렬의 각각의 성분끼리 더하는 것이다.

- A행렬과 B행렬이 각각 다음과 같을때 행렬의 합은 각 항들을 각각 더한 결과의 행렬이 된다.

(2) 행렬의 차(뺄셈)

: A와 B가 모두 m×n행렬일 때 A-B 또는 A+(-B)라고 쓰고, A에서 B를 뺀 차(difference)라고 한다.

 
(3) 행렬의 스칼라 곱

- k가 실수값이고, A = [a_ij]를 임의의 행렬이라고 할 때 kA는 ij-성분이 ka_ij인 행렬로 정의되므로 kA = [ka_ij]이다.

- 행렬 A에 스칼라 값 k를 곱했을 때 k·A는 행렬 A의 각 항에 k를 곱함으로써 얻어진다.

- 행렬의 뺄셈은 행렬의덧셈의 역원을 더하는 것으로 A-B=A+(-B)이다.

 

(4) 행렬의 합과 스칼라 곱에 관한 연산법칙

- 행렬의 합과 스칼라 곱은 같은 크기의 행렬 A, B, C와 어떤 상수 c, d가 주어졌을 때 다음과 같은 연산법칙을 만족한다.

- 0은 모든 항들이 0인 영행렬

• 덧셈의 교환 법칙 : A+B = B+A
• 덧셈의 결합 법칙: (A+B)+C=A+(B+C)
• 덧셈의 항등 법칙 : A+0 = 0+A
• 덧셈의 역원 : A+(-A)=(-A)+A=0
• 스칼라 곱의 배분 법칙 : c(A+B) = cA+cB
• 스칼라 곱의 배분 법칙 : (c+d)A = cA + dA

 

(5) 행렬의 곱(multiplication)

- A = [a_ij]가 m×n행렬이고, B = [b_ij]가 n×p 크기의 행렬일 때 행렬 A와 B의 행렬의 곱은 AB=C=[c_ij]로서 다음과 같이 정의되는 m×p 행렬이 된다.

 

- AB는 A의 열의 숫자가 B의 행의 숫자와 같을 경우에만 정의된다.
- C의 (i,j)항들은 A의 i번째 행과 B의 j번째 열을 곱한 합으로부터 만들어진다.
- 행렬의 곱 AB가 정의되기 위해서는 A의 열의 개수와 B의 행의 개수가 같아야 한다.
- 내측에 있는 수가 서로 같으면 곱이 정의되고, 외측에 있는 두 수는 새롭게 만들어진 행렬의 크기로 볼 수 있다.
- 행렬의 곱셈에서는 교환 법칙이 일반적으로 성립되지 않는다.
- A가 m×n 행렬이고, B와 C는 행렬의 합과 곱에서 정의된 크기를 만족한다고 가정하고 k가 어떤 스칼라 값일 때 다음 식들이 성립한다.

• 곱셈의 결합 법칙 : A(BC) = (AB)C
• 왼쪽 배분 법칙 : A(B+C)= AB+BC
• 오른쪽 배분 법칙 : (B+C) = BA+CA
• 스칼라 곱 : k(AB) = (kA)B = A(kB)
• 행렬 곱셈의 항등식 : I_nA = A = AI_n

10.2 특수한 행렬

1) 대각행렬(Diagoanl matrix)

- n×n 정방행렬에서 대각선을 제외한 모든 항들이 0인 행렬 D를 대각행렬이라고 한다.

- 정방행렬 A의 주대각선 위의 모든 성분들을 대각항이라고 하고, 각 대각항의 합을 대각합(trace)이라고 하며 tr(A) 또는 trace(A)로 표기한다.

- 행렬의 대각합은 행과 열 번호가 같은 성분들의 합이다.

 

2) 항등행렬 (identity matirx) 혹은 단위행렬

- 대각행렬이면서 대각선의 항들이 모두 1인 n×n 행렬

- 행렬의 크기가 n×n인 항등행렬을 통상 I_n으로 나타내는데 n×n 항등행렬의 중요한 성질은 AI_n = A = I_nA이다.

 

3) 영행렬 (zero matrix)

- 성분이 모두 0인 행렬, 즉 모든 i, j에 대하여 a_ij=0인 행렬

- 볼드체의 0이라고 나타낸다.

 

4) 전치행렬(Transpose matrix)

- 행렬 A = [a_ij]를 m×n 행렬이라 할 때, b_ij = a_ji가 되는 n×m 행렬 B =[b_ij]를 A의 전치행렬이라고 하고 A^T로 나타낸다.

- 어떤 행렬의 전치행렬은 주어진 행렬의 행과 열을 서로 바꾼 행렬이 된다.

 

5) 대칭행렬 (Symmetric matrix)

- 어떤 정방행렬 n×n 행렬이 자신의 전치행렬과 똑같을 때, 즉 행렬 A가 A=A^T를 만족할 때 행렬 A

- A=[a_ij]에서 모든 i, j에 대해 a_ij = a_ji가 성립하는 경우이다

 

6) 교대 행렬 (Skewed-symmetric matrix)

-A=-A^T를 만족하는 n×n 행렬

- A=[a_ij]에서 모든 i, j에 대해 a_ij =- a_ji가 성립하는 경우이다.

- 교대행렬을 만족하려면 대각 요소가 모두 0이어야 한다.

 

7) 삼각행렬 (Triangluar matrix)

- 상부삼각행렬과 하부삼각행렬의 통칭
- 상부삼각행렬 (upper traingular matirx) : 주대각선 아래에 있는 모든 항들이 0인 n×n 행렬 A
- 하부삼각행렬 (lower traingular matirx) : 주대각선 위에 있는 모든 항들이 0인 n×n 행렬 A

10.3 행렬의 기본 연산과 사다리꼴

1) 행렬의 기본 연산

- 어떤 행렬 A의 다음 세 가지 타입의 연산들을 기본 행 연산(elementary row operation)이라고 한다.

• 어떤 두 개의 항을 서로 바꾼다
• 어떤 행에 0이 아닌 상수를 곱한다.
• 어떤 행에 사수를 곱한 후 다른 행에 더한다.

 

2) 행 사다리꼴 (row echelon form)

- m×n 행렬 A가 기본 행 연산들을 거친 후 다음 3가지 조건을 만족시키면 행 사다리꼴(REF)이라고 한다. 
- 행렬의 각 행에서 0이 아닌 가장 처음 나타나는 수를 사다리꼴 행렬에서 피벗(pivot)으로 삼을 수 있다.

• 0으로만 이루어진 행들은 만약 있는 경우 행렬의 아래쪽에 나타낸다.
• 모두가 0은 아닌 행의 가장 왼쪽에 가장 처음 나타나는 0이 아닌 수를 피벗으로 삼는다.
• 모두가 0은 아닌 연이은 두 행이 있으면 아래쪽 행의 피벗은 위쪽 행의 피벗보다 오른쪽에 있다.

 

3) 기약 행 사다리꼴 (reduced row echelon form)

- m×n 행렬 A가 기본 행 연산들을 거친 후 행 사디리꼴의 3가지 조건에다 다음의 4번째 조건까지 만족시키면 기약 행 사다리꼴(RREF)이라고 한다.

• 한 행의 피벗을 포함하는 열(pivot)에는 피벗 이외의 항들은 모두 0이다.

- 기약 행 사다리꼴을 구하기 위한 기본 행 연산 방법

1. 전향단계(forward phase) : 피벗의 아랫부분이 0이 되게 한다.
2. 후향단계(backward phase) : 피벗의 윗부분까지 0이 되도록 행 연산을 실행한다.

 

4) 행렬과 방정식의 표현

- 연립방정식의 행렬 표현

5) 소거법

- 방정식을 결합하여 미지수를 소거한다.
- 선형 연립방정식의 해를 구하는 방법 : 미지수 소거법

• Gauss 소거법 : 전향단계까지의 연산 과정을 실행하여 행 사다리꼴을 구함.
• Gauss-Jordan 소거법 : Gauss 소거법으로 구한 행 사다리꼴에서 후향단계까지 실행함.
• LU 분해법과 역행렬
• 반복법

- 주요 용어

• 피벗 원소 (pivot element) : 소거시키는 기준이 되는 대각선 원소
• 피벗 행 (pivot row) : 피벗 원소가 속해있는 행

- 선형 연립방정식의 연산 법칙

• 확대행렬의 어떤 행에도 상수를 곱할 수 있다.
• 하나의 행에 어떤 수를 곱하여, 다른 행에 더할 수 있다.
• 어떤 두 행의 위치를 바꿀 수 있다.

- Gauss 소거법 : 전진 소거와 후진 대입 기법 사용
; 계수 행렬을 상삼각 행렬로 변환하여 역대입

1. 행렬의 표현
2. 확대 행렬(Augmented Matrix) A|B 생성
3. 전진 소거하여 상삼각 행렬로 만듦
4. 후진대입

 
- Gauss Jordan 소거법 : 대각 원소의 위 아래의 원소를 소거하여 계수행렬이 대각행렬이 되도록 소거
; 후진 대입할 필요가 없지만, Gauss 소거법보다 약 50%의 연산 작업을 더 수행해야 한다.

 

6) 행렬의 표현과 응용

- 행렬은 그래프의 표현이나 응용에도 폭넓게 활용될 수 있다.
-  행렬은 최단 거리 경로, 통신 네트워크, 그래프 이론 등과 같은 다양한 분야들에 응용될 수 있다.
 

10.4 행렬식의 개념

1) 행렬식 (Determinan)

- 정방행렬 A에 하나의 스칼라 값을 대응시키는 함수
- Det(A), |A|로 표기한다.
- n차 정방행렬의 행렬식을 n차 행렬식이라고도 부른다.
- A를 n×n 행렬이라고 할 때 행렬 A에 A의 행렬식이라는 수가 대응된다.
- 정칙 행렬(non-singular matrix) : n×n 정방행렬의 A의 행렬식 |A|의 값이 0이 아닐 때의 A
- 특이 행렬(singular matrix) : n×n 정방행렬의 A의 행렬식 |A|의 값이 0일 때의 A
- n×n 행렬 A, B가 정칙행렬인 경우를 가역적(nonsingular, invertible)이라고 하는데, AB=BA=I인 경우를 말한다.
 
2) 행렬식 구하기
- 정의

- 사루스의 공식(Sarrus's Formula)

 

10.5 행렬식의 일반적인 성질

1) 행렬식의 성질들

- n×n 행렬 A에서 임의의 두 행(또는 열)이 같으면 행렬식의 값은 0이다.
- n×n 행렬 A의 임의의 두 행(열)을 서로 바꾸어서 만든 행렬 B라고 하면 Det(B) = - Det(A)이다.

- 행렬 A의 행렬식의 값은 그 전치행렬의 행렬식의 값과 같다. Det(A) = Det(A^T)

- A와 B가 n×n 행렬이면 곱의 행렬식은 행렬식의 곱과 같다. Det(AB) = Det(A)·Det(B)
- 행렬식의 어떤 행(또는 열)의 각 원소에 같은 수 k를 곱하여 얻은 행렬식은 처음 행렬식에 k를 곱한 것과 같다.
- n×n 행렬 A의 한 행(열)에 있는 모든 원소가 0이면 Det(A) = 0 이다.
 

2) 기본 행 연산을 통한 행렬식의 계산

- 행렬식을 구하기 위해 행렬식의 성질들을 이용하더라도 4차 이상의 정방행렬의 경우에는 계산이 매우 복잡하고 시간이 많이 걸린다.
- 기본 행 연산을 통한 행렬식의 성질을 활용하면 보다 편리하게 행렬식의 값을 구할 수 있다.

10.6 역행렬

1) 역행렬의 정의와 성질

- 역행렬 (inverse matrix)이란 스칼라 값에서의 곱셈에 대한 역원과 유사한 개념으로 선형방정식의 풀이에서 매우 중요한 개념이다.

- 행렬 A와 B가 모두 n×n 행렬일 때, AB=BA=I (I : 항등행렬)인 행렬 B가 존재하는 경우 A를 가역적(nonsingular, invertible)이라 한다. 이 경우 AB=BA=I가 성립하는 하나뿐인 행렬 B를 A의 역행렬이라고 하고 A^-1로 표기한다.

- AA^-1 = A^-1A = I가 항상 성립한다. 

 

2) 역행렬을 구하는 방법

- 첨가행렬(augmented matrix) : 주어진 행렬 A의 오른쪽에 추가적으로 첨가하여(augmented) 만든 행렬

- 가우스-조단의 역행렬을 구하는 알고리즘을 이용하여 A의 역행렬인 A^-1를 구할 수 있다.

① 원래의 A 행렬에다 항등행렬 I를 첨가하여 첨가행렬 [A|I]로 만든다.
② 행렬 A 부분이 항등행렬로 바뀔 때까지 행 연산을 계속한다.
③ A가 가역적 행렬인지 결정한다.

• A를 항등행렬로 변환할 수 있으면 원래 I 위치에 있는 행렬이 A^-1가 된다.
• 만약 A의 행 연산 과정에서 한 행이 모두 0이 되면 A는 비가역적 행렬이므로 역행렬을 구하는 과정을 중단한다.

10.7 선형방정식의 해법

- Ax = b가 n개의 변수에 대한 n개의 방정식으로 이루어진 선형시스템이고, 행렬 A가 가역적이면 선형시스템은 유일한 해 x = A^-1b를 가진다.

- Ax = b이므로 A를 오른쪽으로 넘기면  x = A^-1b가 된다.

- 주어진 행렬의 역행렬을 알고 있을 때 A^-1에다가 b를 곱하면 이 선형시스템의 해를 구할 수 있다.

 

10.8 행렬과 행렬식의 응용과 4차 산업혁명과의 관계

1) 행렬의 다양한 분야에의 응용

행렬은 선형방정식의 효율적 해법과 밀접한 관계에 있으며, 그래프의 표현이나 응용, 최단 거리 경로, 통신 네트워크의 관리, GPS에의 응용, 암호화, 수학이나 물리학, 양자역학, 여러 분야의 공학 등에서는 매우 중요한 역할을 한다.
 

2) 행렬식의 응용 분야

행렬식의 응용 중 가장 대표적인 것은 선형방정식(inear equation)의 해법이다. 또한 행렬식은 좌표계나 평행사변형의 면적이나 정육면제의 부피 구하기, 키르히호프 전류 법칙과 전압 법칙에의 적용 등에 광범위하게 응용되고 있다.
 

3) 행렬, 행렬식과 4차 산업혁명과의 관계 : 바이오 컴퓨터와 양자 컴퓨터

행렬과 행렬식은 복잡한 선형방정식을 상당히 빠르게 모델링하고 계산할 수 있으므로 4차 산업혁명의 주요 기술인 바이오 컴퓨터(Bio computer) 기술, 양자 암호 기술, 나노 기술 등의 기술 발전의 바탕이 될 수 있다. 또한 행렬식을 통한 암호 풀이와 관련 있는 양자 컴퓨터(quantum computer) 개발의 바탕이 된다.